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  【摘  要】  探究经典名题“鸡兔同笼”,感受古代数学问题的趣味性。尝试用数形结合、以画促思、情景设置、化繁为简等方法解决问题,促进数学思想的建成。从数学活动中体会数学知识在日常生活的广泛应用,激发学生学数学、用数学的乐趣,感受数学文化。
  【关键词】  鸡兔同笼;数学思想
  大约在1500年前,《孙子算经》中记载了一个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中鸡和兔各有几只?
  我想借此经典名题的探究,鼓励学生用自己喜欢的方法来探索数学问题,引导学生在推理中发现数字差异,主动调整数据,从而推出数学结论,在运用多样化方法的探索过程中感受数学的乐趣和数学文化的魅力。
  一、激活经验,引发思考
  学生的学习要以丰富的生活经验为基础,教师通过引导使学生善用“熟悉的”去解释“陌生的”,用“具体的”去理解“抽象的”,使数学变得简单。由于学生生活经验的缺乏,教师要了解孩子的生活,课前通过游戏让孩子了解动物的腿数。如设计游戏:一只小鸡,一只兔,两个头,六条腿。两只小鸡,两只兔,四个头,十二条腿。三只小鸡,两只兔,五个头,十四条腿。五只小鸡,五只兔,十个头,三十条腿。同学们数得很准确,会发现在动物身上有许多数学信息是值得研究的。游戏导入让学生的头脑中有个初步的鸡兔腿数的计算意识。然后再引入《孙子算经》,目的是为了给数学课堂带来了浓厚的数学文化气息,让学生感受到我国数学文化的源远流长,激发了学生的学习热情。
  开课前,教师可以先从较小的数入手,如鸡兔头共5个,腿共有14条。鸡兔各几只?这句话的意思怎样理解,要鼓励学生说出自己的想法,怎样用画图的方式来探索。著名数学教育家赖登塔尔说过:“儿童是天生的数学家。”当学生用熟悉的图画来表示时,自然就经历了数学探索的过程。学生在研究中发现先画1只鸡1只兔,再画1只鸡1只兔,再画1只鸡,正好14条腿,所以是3只鸡,2只兔,或者先画1只兔,再画1只鸡,接着画的过程中发现腿多就去掉,得出鸡的只数;或者全部画成鸡,少了几条腿,再给1只鸡添上2条腿,得出兔的只数。在添或去的过程中,学生初步构建了假设法的推理模式,但是教师先不要急于给出假设法的算式,要给予学生自我完善的时间。
  作为教师,我们只是孩子学习的引路人,不能只是指点学生进入“现成的大厦”,而是要促使他们去“搬砖砌墙”,一同来建筑大厦,即教师的任务不仅是告诉学生真理,更重要的是引导学生探求真理。学生在“小马过河”的试探中,感受水深水浅,不断地调整自己的方法,不断地修正自己的方法,才能形成自己的数学思路和数学方法,才能真正培养学生自我学习的能力,掌握数学技能。
  二、设置障碍,自我完善
  学生在初步的画图过程中已经掌握了简单的推理方法,怎样趋于完善,需要教师设置障碍让孩子去跳跃。此时,教师可以增加数量,出示鸡兔共12个头,32条腿,鸡兔各多少只?问笼中各有几只鸡和兔?试问学生会选择画图的方式吗?为什么?你会选择什么更快捷的方法?此时鼓励学生列表从数字中找答案,比画图更节省时间。逐一列表法:逐一列出,不重复不遗漏。跳跃列表法:估计范围,减少列举次数。取中列表法:取中列举,缩小列举范围。为了快速找到,可以用折中法来算脚数,再调整。直取中间数,验证后调整幅度缩小,更为简便快捷,这种方法叫做取中列举法。有的学生会在列数字中发现每减少1只兔,增加1只鸡,腿数会减少2,兔子要减少多少只,腿才能减少到32条呢?在计算中学生会很快找到相应的鸡兔数。在列表过程中纵观发现腿数多说明兔子数多了,就减少一只兔,增加一只鸡;腿数少说明兔子数少了,就增加一只兔子,减少一只鸡。学生从图形模式过渡到数字推理,经历了猜测、验证、调整的数学活动,经历了一次数学思维的飞跃,感受到演绎推理带来的数学乐趣。
  三、优化方法,丰富思想
  学生经历了画图、列表,已经掌握了基本的解题技巧,初步感受到探索的乐趣。但是怎样由此及彼、以不变应万变,还需要优化方法、优化解题步骤、形成数学思想。“假设法”和“抬腿法”是破解鸡兔同笼最常用的方法,也是最便捷的方法。针对“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”画图太繁琐,列表也冗长。如果把它们变成一种动物去求解就简单多了。怎样把它们变成一种动物,激发学生思考,最好从故事引入,比如大灰狼夜晚想要偷袭鸡和兔,一群鸡、兔受到惊吓就会抬腿求饶,鸡两条腿一抬就飞走了,兔抬起两条腿,每只兔还有两条腿着地,用剩余的总腿数除以2就能求出共几只兔。
  思路总结:
  1.抬光腿少的:35×2=70(条)
  2.剩下腿多的:94-70=24(条)
  3.除以腿数差:24÷2=12(只)
  4.求出另一类:35-12=23(只)
  这种让一种动物抬腿消失的方法也可以延伸为假设法。假设全是鸡或兔,相信学生会迎刃而解。为了辅助落后生,假设法的推理过程中可以先从简单问题入手。先画8个圆圈表示8个头,,再为每条动物画两条腿,8只动物只用完16条腿,还多出10条腿。把剩下的10条腿用完,要给其中的5只动物各添2条腿,这5只就是兔子,另外的3只就是鸡。根据每一步的推理写出相应的算式:8×2=16(条),26-16=10(条),4-2=2(条),10÷2=5(只),8-5=3(只)。以上两种方法,重在意思的理解和数学语言的表述,学生能够完整叙述解题过程,就能准确领会题意。学生在比较中发现快速的方法,在优化数学方法里自我完善。
  四、深化感悟,拓展延伸
  “鸡兔同笼”的数学思想,可以带给学生无限的想象。怎样从“鸡兔同笼”里找到更多类似的数学问题,需要学生去挖掘资源,鼓励学生自我编题。教师可以给孩子收集相关素材。
  例如:(1)某校四(3)班共计48名学生,一同出去郊游,租船时出现每条船只能坐2人、3人、4人,价格分别为10元、12元、15元,问怎么样安排租船更划算?
  (2)體育课组织跳绳接力比赛活动,参赛人数为30人,全班分为男生组和女生组两个组,男生组每分钟跳105个,女生组每分钟跳95个,整个过程每人都要参与一次,整个过程需要15分钟,问所有人员共计跳多少个?
  (3)一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分,做错一题倒扣4分,刘冬考了112分,你知道刘冬做对了几道题?
  以上数学题都属于“鸡兔同笼”,学生触类旁通,才能真正掌握这种数学思想。打开学生的视野,提升数学思维,是我们每个数学教师为之努力和研究的课题。我们不是为了研究数学题而去做题,更多的是能从中学到一种数学方法,带给学生更多的是演绎的快乐和探索的乐趣,让每个学生在数学里发现自己具备的数学才能,点点滴滴地掌握数学推理的小技巧,从不会到会,从一道题到数道题,从数学题走进生活,从生活里又发现数学,带着一颗好奇心感悟数学,从数学家的思想里受到鼓舞,从古代数学名题里找到自我挑战的乐趣。
  探究古代名题,学生从最初的无从下手到大胆地猜测,再到积极开动脑筋,研究解决问题的方案和策略,在这个过程中不仅逐步体会到数学学科独具的逻辑性、抽象性,还感受到数学与生活的密切联系,这正验证了数学家华罗庚所说:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学!”数学文化源远流长,数学思想博大精深。让我们以更加饱满的热情和精巧的设计,让课堂焕发生命的活力和无穷的智慧,去努力打造幸福课堂。
  【参考文献】
  [1]吴正宪.听吴正宪老师上课[M].上海:华东师范大学出版社,2019.

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怎样由浅入深探究“鸡兔同笼”